【图论】总结 10:无向图的必经边与必经点

【图论】总结 10:无向图的必经边与必经点

无向图的必经边问题

问题:给定一张无向图,求点 \(S\) 到点 \(T\) 的所有路径中必须经过的边。

考虑到这个“必经边”一定是割边,我们很容易想到用 e-DCC 来解决这个问题。

分类讨论:

当 \(S\) 和 \(T\) 属于同一个 e-DCC 时,无必经边;

当 \(S\) 和 \(T\) 不属于同一个 e-DCC 但连通时,此时将 e-DCC 缩点后,两个 e-DCC 在缩点后形成的树上路径的边即为必经边(可看下图);

当 \(S\) 和 \(T\) 不连通时,无必经边。

例题:AcWing 397 逃不掉的路,求必经边的边数。

无向图的必经点问题

问题:给定一张无向图,求点 \(S\) 到点 \(T\) 的所有路径中必须经过的点。

必经点一定是割点,类似于求必经边,我们采用 v-DCC 来解决。

分类讨论:

当 \(S\) 和 \(T\) 属于同一个 v-DCC 时,无必经点;

当 \(S\) 和 \(T\) 不属于同一个 v-DCC 但连通时,此时将 v-DCC 缩点后,两个 v-DCC 在缩点后形成的树上路径经过的割点(缩点后的,不包括 v-DCC 内的割点)即为必经点;

当 \(S\) 和 \(T\) 不连通时,无必经点。

例题:P5058 [ZJOI2004] 嗅探器。

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